sqrt（如何使用java语言求一个正整数的平方根）

今天的这篇文章是我在刷算法题的时候遇到的，最简单的方法是直接调用java里面的Sqrt函数，不过有时候题目中会要求我们不能使用库函数，所以在这里我们自己定义Sqrt方法。

最常见的思路有两种，第一种是二分法，第二种是牛顿的微积分思想。没错，想当年大学时候学了很久很痛苦的微积分，被我第一次派上用场了。对于这两种方法我们一个一个看。

一、二分法

二分法的思想很简单，就是从0到N不断的去缩小范围来找一个一个满足精度的最佳值。我们举一个函数的例子：

这就是二分法的思想，求平方根也是，我们从0到value取出中间值，然后不断地比较，假设value=10，查找区间为（0，10），这时候取（0,10）的中间值mid=5，mid*mid再和value比较之后，确定下一次查找的区间变为（0，5），依此类推。一直到满足我们需要的精度即可。下面我们使用java代码实现一下：

在这里value就是我们要求的数字，t表示的是精度。这个方法在这，大家可以测试一遍。不过在这里有一个小小的问题需要我们去注意：

如果我们对整数9取平方根，结果不是3，这里有精度损失，损失的原因之一是和计算机有关的，因为计算机的底层其实只有0和1，所以会无限的接近，而不能精确表示。

以上就是二分法求解的思想，这个思想很简单，不过实现的方法却是有一点点麻烦。在这里我们开始介绍第二种方法，那就是牛顿的微积分思想

二、牛顿迭代法

牛顿的微积分的思想就是无限接近，在这里提一句，如果你是数学大佬就不要追究思想到底是啥了。对于求平方根来说，使用切线来无限逼近的方式有时候能起到意想不到的效果。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

我们使用一张图来演示一下：

这种方式也很好理解。所以我们直接来看实现：

上面的方法同样可以表示。而且我们可以看到，牛顿的这个方法其实更加的简单。而且精度也更好。